函数奇偶性的判断和证明.doc

第07讲:函数奇偶性的判断和证明【考纲要求】结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。【基础知识】1、函数的奇偶性的定义3、判断函数的奇偶性的方法(1)定义法首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数。(2)求和判别法对于函数定义域内的任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。(3)作差判别法对于函数定义域内任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。(4)作商判别法对于函数定义域内任意一个x,设,若,则是奇函数,则是偶函数。例1判断下列函数的奇偶性(1)(2)解:(1)(2)例2定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0①求证:f(0)=1 ②求证:y=f(x)是偶函数证明:①令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0∴f(0)=1②令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y)∴y=f(x)是偶函数例3判断函数的奇偶性解:由题得函数的定义域关于原点对称。设则,设则,所以函数是奇函数。【点评】对于分段函数奇偶性的判断,也是要先看函数的定义域,再考虑定义,由于它是分段函数,所以要分类讨论。【变式演练1】判断函数的奇偶性。【变式演练2】已知函数是奇函数,是偶函数,判断函数的奇偶性。方法二求和判别法使用情景[来源:学&科&网]一般是对数函数。解答步骤对于函数定义域内的任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。例4判断函数的奇偶性。解法1:利用定义判断,由,可知是奇函数。解法2:由x∈R,知。因为,所以是奇函数。例5判断函数的奇偶性。解:由题得,因为,所以是偶函数。【点评】作差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复杂,利用作差判别法可以化繁为简,简洁高效。方法四作商判别法使用情景一般含有指数函数运算。解答步骤[来源:学|科|网Z|X|X|K]对于函数定义域内任意一个x,设,若,则是奇函数;若,则是偶函数。[来源:]例6证明函数是奇函数。证明:由,知且,所以定义域关于原点对称。因为,所以是奇函数。1.【2012高考真题陕西理2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为().【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数;B是奇函数且是减函数;C是奇函数且在,上是减函数;..【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=(x)=|xcos|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为()(A)5(B)6(C)7(D)83.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数,且,若,则。【解析】因为为奇函数,所以,所以,,所以。【反馈训练】(x)=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是() (x)=ax2+bx+c(a≠0)是