数分选讲讲稿第34讲.docx

数分选讲讲稿第34讲.doc讲授内容 备注:..#3学时第三十四讲§(x,y)0而言,隐函数存在定理是:F(x,y)满足10F(xo,yo) 0,Fy(xo,yo) 0;20F(x,y)及Fy(x,y)在(心y。)的某邻域内连续,则方程F(x,y)0在(x0,y0),即 0, 0,及函数yy(x),满足:i)y。y(x°);ii)Fx,y(x)0,|y(x)y°| ,xU(x0,)其中U(x。,)x||x-x°| ;iii)注:定理的条件只是充分条件,)、ii)的函数y(x)是唯一的;iv)yy(x)在U(x),):Fx(x,y)在(x°,y°)的邻域内连续,则y(x)存在,且y(x)dydxFx(x,y)Fy(x,y)例1给定方程x2 ysin(xy)0(A)1)说明在点(0,0)的充分小的邻域内,此方程确定唯的、连续的函数yy(x),使得y(0) 0;2)讨论函数y(x)在x0附近的可微性;3)讨论函数y(x)在x0附近的升降性(单调性);4)在点(0,0)的充分小的邻域内,此方程是否确定唯一的单值函数x x(y),使得x(0)0?为什么?解1)F(x,y)x2ysin(xy)10F(0,0) 0,Fy(x,y) 1xcos(xy),Fy(0,0) 1;:20显然F(x,y)及Fy(x,y)在(0,0)的邻域内连续,i:由隐函数存在定理,F(x,y)0在点(0,0)的某邻域内存在唯一■隐函数yy(x),连续,y(0) )Fx(x,y)2xycos(xy)也在(0,0)的邻域内连续,i;所以函数yy(x)的导数存在,且:Fx(x,y) 2xycos(xy)y(x) (B)Fy(x,y) 1xcos(xy) '3)为讨论y(x)在x0附近的升降性,考虑y(x)的符号,:由(B)得出,当(x,y)充分接近(0,0)时,y(x)的符号取决于分i子2xycos(xy)的符号.!-Qy(0) 0,由(B)知y(0) 0,-Iy(x)o(x)(当x0时)i于是ycos(xy)|y|o(x)Iy(x)的符号与2x的符号相同.:x0时,y(x)0,y(x)],x0时,y(x)0,y(x),y(x)在x0处取(严格)极大.:!4)(用隐函数存在定理不能判定在(0,0)的邻域内是否存在唯一的单值函数xx(y),使得x(0)0,QFx(0,0) 0)由3)知,y(x)在x0处取(严格)极大,故在(0,0)的充分小的邻域内,当y0时,,无x与y对应,使得F(x,y)(y),使得x(0) 0.§:殊方向的方向导数一、方向导数的计算1)利用定义函数yf(x)(x?n)在点P(为兀丄风)处沿单位向量r(IJ2,L,ln)方向的方向导数定义为丄 Iimf(Ptr)f(P)df(P() (A)Ipto t dtto2)利用偏导数与方向导数的关系若f(x)在点P(Xi,X2丄,Xn)处可微,则f在P点沿任意方向I(cos「cos2,L,cosn)的方向导数存在,且-ppg(P)COS!fx2(P)cos2L fxn(P)cosn(B)3)利用梯度与方向导数的关系若f(x)在点P(X「X2丄,Xn)处可微,则f在P点沿任意gradf(P)g(cos“cos2丄,cosn)方向I(cos1,cos2,L,cosn)的方向导数存在,且梯度方向是函数变化最剧烈的方:向,或个方向导数的最大值就是梯度的模:gradf(P)|cos其中表示gradf(P)(x,y)x2y20y2=0试证:f(x,y)在(0,0)点沿任意方向的方向导数存在,但在(tcossin)tsin(0,0)(0,0)(Prtl)f(0tcos,0tsin)f(tcos,tsin)tcossin,t0tcossin0,t0于是fdf(tcos,tsin)l(0,0)dtt0证取任意方向I(cos,sin)t0cos0,#:f(x,y)2xy4 2,xy0,x2*x2在(0,0)处沿任意方向I(cos,siny20y2=0)的方向导数为f(0,0)I2cossin0,sinsinr证f(Ptl)f(0tcos,0tsin)f(tcos,tsin_t2t4cos42.■ 4 ・2tcossin0,#tcos2sin2tcos42rdf(Ptl)dt2^2 4 . 2rdf(P