自动控制原理非线性控制系统分析.ppt

自动控制原理
第八章
非线性控制系统分析
8-3相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程
的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地
转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个
点的移动轨迹,就可获得系统运动规律的全部
信息。
相平面法可以用来分析一、二阶线性或非
线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳
态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。

二阶系统的微分方程可由下列微分方程来描述
=f(x,8
相平面:二阶系统的二个变量看作是独
立变量,一般是位置量x和速度量&,分别以
x、为横坐标和纵坐标构成的平面为相平面。
而x、&就叫做运动系统的相变量。在某一时
刻t,x、&对应于相平面上一个点,称为相
点,代表了系统在该时刻的一个状态。
拥轨迹:设初始时刻t,初始条件
相点从(xo8)开始,随着时间的增加,系统的
状态不断变化,沿着时间增加的方向,将描述
这些状态的相点连接起来,在相平面上就形成
条轨迹线,这种反映系统状态变化的轨迹
线叫相轨迹,如图
&
相图。对于某一微分方程,当初始
条件不同时,不同的初始条件对应着不同
的相轨迹,因此相平面上布满了一簇相轨
迹,由这一簇相轨迹组成的相平面图,称
作相图。
相平面法:用相平面图分析系统
的方法为相平面法。

1)解析法
解析法是从微分方程中找出和x的关系,从而
在相平面上绘制相轨迹,当描述系统的微分方程比
较简单时,用解释法比较方便。
(1)消变量法
从&f(x,中解出x,对x求导得到,从x,
戏中消去中间量t,就得到&→x的关系,直接
以t为参量得参量方程即可。
(2)直接积分法
d& d& &
d&
&,=f(x,8
g(&d= h(xdx
g(8d&=∫(x)dx
就得到&>x的关系
例:设系统的微分方程为x=0,初始条件
为x(O0)=x0,米0)=0,试绘制系统的相轨迹
解:第一种方法:
从微分方程求得x= Xocost
∷- x sint
x2+&=x2→)圆
第二种方法:
d
+x=0
88=-xx
1-8(0)=-2x
义+x
圆
2)等倾线法
等倾线法是不解微分方程,直接在相平面上绘
制相轨迹的方法。它对非线性系统尤为重要。
☆等倾线法
等倾线法的实质是用图解的方法,先绘出相轨迹
的切线方向,然后从初始条件开始,沿切线方向绘
制相轨迹
d
Q桌=&,=f(x,
dx
dx& f(x, %g
2→相轨迹方程
它给出了相轨迹在(x,处的斜率
d
令
&(x,心等倾线方程