平面几何中的向量方法.ppt

平面向量应用举例
平面几何中的向量方法
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向量的相关概念及其形式
a=λb
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向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件 a∥b .
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件
a⊥b .
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利用夹角公式
(3)求夹角问题 ，

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|= 或|AB|=|AB|= .
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A
B
C
D
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图， 你能发现对角
线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？
对角线DB？
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
AB ²
AC ²
AD ²
DB ²
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A
B
C
D
AB ²= a ²
AD ²= b ²
设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，
分析：
AC ²=AC+AC=(a+b) (a-b)
·
=a a+a b+b a+b b
·
·
·
·
= a ²+2a b+ b ²
·
DB ²
= a ²- 2a b+ b ²
·
同理
DB ² =
AC ²+
2( a ²+ b ²)
AB ²+
AD ²
= 2 ( )
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
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利用向量法解决平面几何问题的基本思路
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
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A
B
C
D
E
F
R
T
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
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故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
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在日常生活中，你是否有这样的经验：
两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；
在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，
你能从数学的角度解释这种现象吗？
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