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平面几何中的向量方法
向量概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
例3. 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?
A
B
C
D
E
F
R
T
猜想:
AR=RT=TC
解:设则
由于与共线,故设
又因为共线,
所以设
因为
所以
A
B
C
D
E
F
R
T
故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗?
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
简述:形到向量向量的运算向量和数到形
【解题回顾】本题中,通过建立恰当的坐标系,赋予几何图形有关点与向量具体的坐标,将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,,题中坐标系建立的恰当与否很重要,它关系到运算的繁与简.
,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PECF是矩形,用向量法证明:
(1)PA=EF;(2)PA⊥EF.
例1、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨:由
得出
由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。
C
变式1、已知P是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,点O满足
则O点一定是△ABC的( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
点拨:由
得出
故O是△ABC的重心。
C