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平面几何中的向量方法
一、教学目标
重点: 用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤．
难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题．
知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步 1 AC  AB  AD, DB  AB  AD ，
类比长方形对角线的长度与两条邻边长度之间的上述关系，你能发现平行四边形对角线的长度与两条
邻边长度之间的关系吗？
思考 1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？
【师生活动】分析：不妨设设 AB  a, AD  b ， D C
（选择这组基底，其它线段对应向量用它们表示．）
A B
则
AC  a  b, DB  a  b ，
2 2 2 2
AB  a , AD  b ．
2 2
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算 AC , DB ．
解：
AC 2  AC AC  (a  b)(a  b)
 a a  a b  b a  b b （１）
 a 2  2a b  b 2
同理
2 2 2
DB  a  2a b  b . （２）
观察 (1),(2) 两式的特点，我们发现，(1) (2) 得2 2 2 2 2 2
AC  DB  2( a  b )  2( AB  AD )
即平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．
【设计说明】教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，利用类比的
思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等
于四条边的平方和，并运用向量方法进行证明．
【设计意图】借助平行四边形这个向量加法与减法的几何模型，引导学生用向量的数量级证明与长度
有关的几何问题，加强向量方法的“三步曲”的应用．
思考 2：向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设点的坐标转化为向量的坐标进
行运算呢？
解:如图建立平面直角坐标系,设 B(a,0), D(b,c),则C(a  b,c)
AB  (a,0), AD  (b,c),
AC  (a  b,c), DB