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第8章 数学概念与思维方法简介
数学概念
1、数学概念的意义和结构
数学概念的意义
人们对客观事物现象的认识一般是通过感觉、知觉、思维形成观念（表象），这是感性认识阶段。在感性认识基础上再经过比较、分析、综合、抽象、概括等一系列思维活动，从而认识事物现象的本质属性形成概念，这是理性认识阶段。理性认识在实践基础上不断深化，概念又会进一步发展。数学概念的产生和发展也是如此。例如，人们对圆的认识，从太阳、满月等物体形状的感觉、知觉形成了圆的观念，又在这个基础上，人们为了制造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识圆的本质属性，知道：“圆是平面内到定点的距离等于定长的点集合（或封闭曲线）。”这样就形成了圆的概念。
我们知道，数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性（或本质属性）在思维中的反映。一个数学概念通常用一个名称或符号来表示。例如，一切有理数所组成的集合这个概念通常用名称“有理数集”或符号“Q”来表示。
数学概念的产生，有些是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的。例如，自然数概念是从手指的个数，或其他单个事物集合元素的个数，或者从事物排列的次序抽象概括得来的。又如几何中的点、线、面、体、平行、垂直、多边形、圆、柱、锥、台等概念都是直接从物体的形状、大小、位置关系抽象概括得来的。可是数学中的大多数概念是一些数学概念在实践活动的基础上，经过多级的抽象概括过程才产生和发展而成的。例如无理数、复数的有关概念，分别是在有理数系及实数系的实践活动中产生出来的。至于近代或现代数学中许多概念，如集合、关系、映射、环、群、域等概念的产生和发展过程就更复杂了。但是，数学概念不论如何抽象，它们还都是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在人的思维中的反映。
概念的外延和内涵
在一个科学体系中，任何一个概念都反映事物的一定范围（即事物的集合）和这个范围内的事物的共同本质。概念所反映事物的范围（或集合）叫做这个概念的外延，这些事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵。概念的外延和内涵是分别对事物集合的量和质的描述，例如△ABC的顶点，这个概念的外延是A，B，C三点所组成的集合，它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这三角形的两边之上这个性质。又如在自然数系中，偶数这个概念的外延是集合{2, 4, 6, 8, …}，它的内涵是“能被2整除的自然数”这个性质。
要明确概念的外延和内涵。要对概念加深认识，还要研究概念的外延和内涵之间的相互关系。两个同类的概念中，它们的外延和内涵有些存在包含和被包含的关系。用符号
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É和Ì分别表示包含和被包含的关系，易知：
四边形外延É平行四边形外延É矩形外延É正方形外延；
四边形内涵Ì平行四边形内涵Ì矩形内涵Ì正方形内涵。
可见，当概念的外延缩小时，则概念的内涵反而增多。例如四边形的外延缩小为平行四边形的外延，平行四边形的内涵比较四边形的内涵反而增多了象“两组对边平行”这样的本质属性；又当概念的外延扩大时，则内涵反而减少。反之，当概念的内涵愈增多，则外延愈缩小；当概念的内涵减少时，则外延扩大。外延和内涵的这种变化关系，在逻辑学里叫做反变关系。
在数学中为了对概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊的概念，往往采取逐步增加概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质。这种方法叫做概念的限定。例如在平行四边形的内涵中增加“有一内角为直角”这个性质，就成为矩形的内涵。这样，平行四边形的外延就缩小为矩形的外延。于是对平行四边形与矩形的关系以及对矩形的性质都加深了认识。
此外，为了认识同类概念的共同性质或者为了揭露某类事物的最一般性质，有时把概念的内涵逐步减少，使概念的外延逐步扩大。这种方法叫做概念的概括。许多数学概念是从另一些概念概括得来的。例如从1斤，1尺等量的单位，不考虑各个单位的量的特点，可以概括成为数的单位1。又如从木球，铁球等物质球体，不考虑它们物质的特点，可以概括成为几何中的球体。再如从数集的四则运算，不考虑各种数集及其运算的特有性质，只考虑集合的性质及运算律等性质，可以概括成为群、环、域等概念。在数学教学中，常用概念概括的方法从一些概念概括出高一度抽象的概念。
2 概念间的关系
同类概念之间还有各种各样的关系，如同一关系、从属关系、交叉关系、并列关系、对立关系等。认识概念间的各种关系，不仅有助于对概念加深理解，而且有助于运用概念进行推理判断。下面分别说明上述各种关系的定义。
（1）同一关系
如果两个概念的内涵不同，但它们的外延完全相同（全部重合），则这两个概念之间的关系叫做同一关系。
例如，一个等腰三角形底边上的高线和中线，这两个概念的外延是同一条线段，但是这两个概念的