直线参数方程t几何意义.docx

利用直线参数方程t的几何意义
1、直线参数方程的标准式
的直线l的参数方程是
(1)过点P(x0,y0)，倾斜角为
0
x
x0
tcos（t为参数）t的几何意义：t
表示有向线段P0P的数量，P(x,yP1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t2<0
一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，
所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点

yP2
P0
P1
0
则t3＝t1
t2（∵P1P3＝－P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义，
2
P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）
性质一：A、B两点之间的距离为|AB||t1
t2|，特别地，A、B两点到M0的距离
分别为|t1|,|t2|.
性质二：A、B两点的中点所对应的参数为
t1t2，若M0是线段AB的中点，则
2
t1t20，反之亦然。
在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离
例1、直线l过点P0(4,0)，倾斜角为
，且与圆x2
y2
7相交于A、B两点。
6
（1）求弦长AB.
（2）求P0A和P0B的长。
解：因为直线l过点P0(4,0)，倾斜角为
，所以直线l的参数方程为
6
x
4
tcos
x
4
3t
6，即
1
2
，（t为参数），代入圆方程，得
y
0
tsin
y
t
6
2
(4
3t)2
(1t)2
7，整理得t2
43t9
0
2
2
（1）设A、B所对应的参数分别为
t1,t2，所以t1t2
43，t1t2
9，
所以|AB||t1
t2|
(t1
t2)2
4t1t2
23.
（2）解方程t2
4
3t
9
0得，t1
33,t2
3，
所以P0A|t1|33
，
0
|t
2|
3.
PB
应用二：求点的坐标
例2、直线l过点P0(2,4)，倾斜角为
，求出直线l上与点P0(2,4)相距为4的点
6
的坐标。
解：因为直线l过点P0(2,4)，倾斜角为
，所以直线l的参数方程为
6
x
2
tcos
x
2
3t
6，即
2
，（t为参数），（1）
y
4
tsin
y
4
1t
6
2
设直线l上与已知点P0(2,4)相距为4的点为M点，且