直线参数方程t几何意义.doc

利用直线参数方程t的几何意义
1、直线参数方程的标准式
(1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为
的直线l的参数方程是
x
x0
tcos
P0P的数量，P(x,y)
y
y0
（t为参数）t的几何意义量，且|P0P|＝|t|
①当t>0时，点P在点P0的上方；
②当t＝0时，点P与点P0重合；
③当t<0时，点P在点P0的下方；
特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为
y
④当t>0时，点P在点P0的右侧；
P0
⑤当t＝0时，点P与点P0重合；
l
⑥当t<0时，点P在点P0的左侧；
0
问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一
对应关系？
y
我们把直线l看作是实数轴，
以直线l向上的方向为正方向，以定点
P0

x0t
yy0
P(x,y)
x
l
P0
为原点，以原坐标系的单位长为单位长，
P
这样参数t便和这条实数轴上的点P成立了
0
一一对应关系.
问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为
t1、t2
，
则P1P2＝？，∣P1P2∣=？
P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣
问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的
参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？
y
l
根据直线l参数方程t的几何意义，
P2
P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线l
P0
上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|
P1
P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t2<0
0
一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，
所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点
x
x
则t3＝t1
t2（∵P1P3＝－P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义，
2
∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）
性质一：A、B两点之间的距离为|AB|
|t
t2|，特别地，A、B两点到M0的距离分
1
别为|t1|,|t2|.
性质二：A、B两点的中点所对应的参数为
t1
t2，若M0是线段AB的中点，则
2
t1t20，反之亦然。
在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离
例1、直线l过点P0(
4,0)，倾斜角为
，且与圆x2
y2
7相交于A、B两点。
6
1）求弦长AB.
2）求P0A和P0B的长。
解：因为直线l过点P0(
4,0)
，倾斜角为
，所以直线l的参数方程为
6
x
4
tcos
x
4
3t
6，即
1t
2
，（t
为参数），代入圆方程，得
y
0
tsin
6
y