概率论与数理统计复习资料要点总结.docx

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概率论与数理统计复****资料重点总结
概率论与数理统计复****资料重点总结
《概率论与数理统计》复****资料
一、复****纲要
注:以下是考试的参照内容,不作为实质考试范围,仅作为复****参照
之用。考试内容以教课纲领和实行计划为准;注明“认识”的内容一
般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,认识
概率的古典定义
2、能较娴熟地求解古典概率;认识概率的公义化定义
3、掌握概率的基天性质和应用这些性质进行概率计算;理解条件概
率的观点;掌握加法公式与乘法公式
4、能正确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题;掌握事件独
立性的观点及性质。
5、理解随机变量的观点,认识(0—1)散布、二项散布、泊松散布的
散布律。
6、理解散布函数的观点及性质,理解连续型随机变量的概率密度及
性质。
7、掌握指数散布(参数)、平均散布、正态散布,特别是正态散布
概率计算
8、会求一维随机变量函数散布的一般方法,求一维随机变量的散布
律或概率密度。
9、会求散布中的待定参数。
10、会求边沿散布函数、边沿散布律、条件散布律、边沿密度函数、
条件密度函数,会鉴别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的观点及计算。
12、理解二维随机变量的观点,理解二维随机变量的结合散布函数及
其性质,理解二维失散型随机变量的结合散布律及其性质,理解二维
连续型随机变量的结合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件
的概率。
13、认识求二维随机变量函数的散布的一般方法。
14、会娴熟地求随机变量及其函数的数学希望和方差。会娴熟地默写
出几种重要随机变量的数学希望及方差。
15、较娴熟地求协方差与有关系数.
16、认识矩与协方差矩阵观点。会用独立正态随机变量线性组合性质
解题。
17、认识大数定理结论,会用中心极限制理解题。
18、掌握整体、样本、简单随机样本、统计量及抽样散布观点,掌握
样本均值与样本方差及样本矩观点,掌握2散布(及性质)、t散布、
散布及其分位点观点。
19、理解正态整体样本均值与样本方差的抽样散布定理;会用矩预计
方法来预计未知参数。
20、掌握极大似然预计法,无偏性与有效性的判断方法。
21、会求单正态整体均值与方差的置信区间。会求双正态整体均值与
方差的置信区间。
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二、各章知识重点
第一章随机事件与概率
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AB

A

BAB

A

B

A

AB
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(1)

A

BB

AAB

BA
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(2)(A

B)C

A(B

C)

(AB)C

A(BC)
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(3)(AB)C(AC)(BC)(AB)C(AC)(BC)
4)ABABABAB
(A)知足的三条公义及性质:
(1)0P(A)
1(2)P()1
n
n
(3)对互不相容的事件A1,A2,,An,有P(
Ak)
P(Ak)(n能够取
k1
k
1
)
(4)P()0
(5)P(A)1P(A)
(6)P(A
B)
P(A)
P(AB),若A
B,则P(B
A)P(B)P(A),
P(A)P(B)
(7)P(A
B)
P(A)
P(B)P(AB)
8)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)
:基本领件有限且等可能


(1)定义:若P(B)
P(AB)
0,则P(A|B)
P(B)
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(2)乘法公式:P(AB)P(B)P(A|B)
若B,B,
B
为齐备事件组,P(B)
0
,则有
12
n
i
n
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3)全概率公式:
4)Bayes公式:

P(A)P(Bi)P(A|Bi)
i1
P(Bk)P(A|Bk)
P(Bk|A)n
P(Bi)P(A|Bi)
i1
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:
A,B独立
P(AB)P(A)P(B)
(注意独立性的应
用)
第二章
随机变量与概率散布
1.
失散随机变量:取有限或可列个值,P(X
xi)pi知足(1)
pi
0,(2)
pi=1
i
(3)对任意D
R,P(XD)
pi
i:xiD
:拥有概率密度函数f(x),知足(1)
f(x)0,
f(x)dx1;
-
(2)P(a
X
b
f(x)dx;()对任意
a
R,P(Xa)
0
b)
a
3

数学期
名称与记号
散布列或密度
方差
望
两点散布B(1,p)
P(X
1)
p,P(X
0)q
1p
p
pq
二项式散布
Cnkpkqnk,k
n,
np
npq
P(X
k)
0,1,2,
B(n,p)
k
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Poisson散布

P(Xk)e
,k0,1,2,
k!
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P()
平均散布U(a,b)
f(x)
1
a
x
b,
ab
(ba)2
,
2
12
b
a
指数散布E(
)
f(x)
e
x
,
x
0
1
1
2
正态散布
1
(x
)2
f(x)
e
2
2
2
N(,
2)
2

F(x)
P(Xx),拥有以下性质
(1)F(
)
0,F()
1;(2)单一非降;(3)右连续;
(4)P(a
X
b)
F(b)
F(a),特别P(X
a)1F(a);
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5)对失散随机变量,
6)对连续随机变量,

F(x)
pi;
i:xi
x
x
f(t)dt为连续函数,且在f(x)连续点
F(x)
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上,F'(x)f(x)
(x)记标准正态散布N(0,1)的散布函
数,则有
(1)(0);(2)(x)1(x);(3)若X~N(,2),则
F(x)(x);
(4)以u记标准正态散布N(0,1)的上侧分位数,则
P(Xu)1(u)
(X)
1)失散时,求Y的值,将同样的概率相加;
2)X连续,g(x)在X的取值范围内严格单一,且有一阶连续导数,
则fY(y)fX(g1(y))|(g1(y))'|,若不但一,先求散布函数,再求导。
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第四章随机变量的数字特点
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失散时
连续时

E(X)xipi,E(g(X))g(xi)pi;
ii
E(X)xf(x)dx,E(g(X))g(x)f(x)dx;
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(3)二维时
E(g(X,Y))
,
g(x,y)f(x,y)dxdy
g(xi,yj)pijE(g(X,Y))
i,j
E(C)C;(5)E(CX)CE(X);
(6)E(XY)
E(X)E(Y);
(7)X,Y独即刻,E(XY)E(X)E(Y)

(1)方差D(X)E(X
E(X))2
E(X2)
(EX)2,标准差
(X)
D(X);
(2)D(C)0,D(XC)
D(X);
(3)D(CX)
C2D(X);
(4)X,Y独即刻,D(X
Y)
D(X)D(Y)

(1)Cov(X,Y)
E[(XE(X))(Y
E(Y))]E(XY)E(X)E(Y);
(2)Cov(X,Y)
Cov(Y,X),Cov(aX,bY)
abCov(X,Y);
(3)Cov(X1
X2,Y)Cov(X1,Y)
Cov(X2,Y);
(4)Cov(X,Y)
0时,称X,Y不有关,独立
不有关,反之不建立,
但正态时等价;
(5)D(XY)
D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

Cov(X,Y)
;有
|
XY|1,
XY
(X)(Y)
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|XY|
1a,b,P(Y
aXb)
1

阶原点矩k
E(Xk),k
阶中心矩k
E(X
E(X))k
第五章大数定律与中心极限制理
1.
Chebyshev
不
等
式P{|X
E(X)|
}
D(X)
或
2
P{|X
E(X)|}1
D(X)
2
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(1)设随机变量

X1,X2,,Xn独立同散布E(Xi),D(Xi)
2,则
n
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n
2),或1n
2
Xi
n
Xi
~N(n,n
Xi
~N(,
)
或i1
~N(0,1),
i1
近似
ni
1
近似
n
n
近似
(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数,P(A)
p,则对任意x,
有lim
{
mnp
x}(x)或理解为若
X~B(n,p)
,则
X~N(np,npq)
P
n
npq
近似
第六章样本及抽样散布
、样本
1)简单随机样本:即独立同散布于整体的散布(注意样本散布的求法);
2)样本数字特点:
样本均值
1n
(E(X)
,D(X)
2
Xi
);
X
ni1
n
样本方差S2
1
n
X)2(E(S2)
2)样本标准差
(Xi
n
1i1
1
n
X)2
S
(Xi
n
1i1
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样本k阶原点矩k
1
n
Xik,样本k阶中心矩k
1
n
(XiX)k
n
i
1
n
i1
:样本的函数且不包括任何未知数
(注意它们的密度函数形状及分位点定义)
(1)
2散布
2
X12
X22
Xn2~
2(n),此中X1,X2,,Xn独立同
散布于标准正态散布N(0,1)
,若X~
2(n1),Y~
2(n2)
且独立,则
XY~
2(n1
n2);
(2)t散布t
X
~t(n),此中X
~N(0,1),Y~
2(n)且独立;
Y/n
(3)F散布F
X/n1
~F(n1,n2),此中X~
2(n1),Y~
2(n2)且独立,
Y/n2
有下边的性质
1
~F(n2,n1),
F1(n1,n2)
1
F
F(n2,n1)

(1)X
~N(,
2/n);
(2)12
n
)2~
2(n);
(Xi
i1
(3)
(n
1)S2
2
(n1)且与X独立;
(4)t
X
~t(n
1)
;
2
~
S/
n
(5)t
(XY)
(1
2)n1n2
~t(n1
n2
2),S2
(n1
1)S12
(n2
1)S22
S
n1
n2
n1
n2
2
2
/
2
(6)F
S1
1
~F(n1
1,n2
1)
2
/
2
S2
2
第七章参数预计
:
1)依据参数个数求整体的矩;(2)令整体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩预计
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:
(1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然预计(如无解回到(1)
直接求最大值,一般为min{xi}或max{xi})

无偏性:若E(?),则为无偏;(2)有效性:两个无偏预计中方差小的有效;
(正态)
参数
条件
预计函数
置信区间
2已
x
[x
u
]
u
n
知
/
2
n
2未
x
[xt
(n
s
t
n
1)]
知
s/
2
n
未知
2(n1)s2
(n1)s2
(n1)s2
2
2
[2(n1),
2(n1)]
2
1
2
三、概率论部分一定要掌握的内容以及题型
、条件概率、加法、乘法公式的应用;掌握事件独立性的观点及性质。
如关于事件A,B,A或B,已知P(A),P(B),P(AB),P(AB),P(A|B),P(B|A)以及换为A或B之中的几个,求此外几个。
例:事件A与B互相独立,且P(A)=,P(B)=,求:P(AB),P(A-B),
P(AB)
例:若P(A)=,P(B)=,P(AB)=,求:P(A-B),P(AB),P(A|B),P(A|B),
P(A|B)
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课本上P19,例5;P26,第14,24题。
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。
若已知致使事件A发生(或许是能与事件A同时发生)的几个互斥的事
件Bi,i=1,2,,n,的概率P(Bi),以及Bi发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|Bi),求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(Bi|A)。
例:玻璃杯成箱销售,每箱20只。假定各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购置一箱玻璃杯,在购置时,售货员任意取一箱,而顾客随机地观察4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,不然退回。试求:(1)顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率。
课本上P26,第24题
、二维失散型随机变量的散布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用。散布中待定参数确实定,散布律、密度函数与散布函数的关系,结合散布与边沿散布、条件散布的关系,求数学希望、方差、协方差、有关系数,求函数的散布律、密度函数及希望和方差。
已知一维失散型随机变量X的散布律P(X=xi)=pi,i=1,2,,n,确立参数
求概率P(a<X<b)
求散布函数F(x)
求希望E(X),方差D(X)
求函数Y=g(X)的散布律及希望E[g(X)]
课本上P39,例1;P50,例1;P59,第33题;P114,第6、8题;例:随机变量X的散布律为.
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X
p

1
2
3
4
k
2k
3k
4k
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确立参数k
求概率P(0<X<3),P{1X3}
求散布函数F(x)
求希望E(X),方差D(X)
求函数Y(X3)2的散布律及希望E(X3)2
已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x)确立参数
求概率P(a<X<b)
求散布函数F(x)
求希望E(X),方差D(X)
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