数学物理方程.doc

;
(1).
解:
代入初始条件得到:
在式两端对积分一次,得到
联立可以得到:
则有
即有:

解:令
原定解问题可以分解为:


(1).先求解的解
代入达朗贝尔方程得到:
代入边界条件:
(2).求解的解:
先求解齐次方程柯西问题的解:

令,则有
利用达朗贝尔公式,有
因此原柯西问题的解为:
因此有
3.
解:令
代入方程可以得到:

令,可以得到:
由达朗贝尔公式可以得到:
随意原定解问题的解为:

求解半无界弦定解问题:

解:
代入
则有
既有
可以得到:

因此进行奇延拓到整个无界区域,令:

因此定界问题为无界自由振动的定解问题

由达朗贝尔公式可以得到:
,所有气体质点的初速度都为零,而初始浓度在球内是常数,在球外是零。求任意时刻,
处的浓度,这里是初始扰动范围处的一点。
解:根据条件列出方程:
这里r是扰动区域中心到球外任意一点的距离,可以看出这是球面对称问题,可视为球面波,由球面波的通解表达式:
,
=
且M在球面内,即r<R
若r+at<R,则|r-at|<R,所以
若r+at>=R,即at>=R-r时,,
而当|r-at|<R,即R-r<=at<=R+r时,
若|r-at|>=R,即at>=R+r,时,
所以综上可得:


求解下列定解问题:

解:代入泊松公式有:




利用二维泊松公式求解下题:
解:由二维公式
代入公式


利用泊松公式解波动方程柯西问题:

解:将定解问题化为:


(1)
将其带入泊松公式




(2)
先求解定解问题:

由泊松公式知:
因此
因此有


解:对应的齐次化定解问题为:

令

由泊松公式;
因此根据齐次化原理:

,求证:
证:由,可以得到:
因此有:
因此有

证:(1).当时,
]
(2). 当时
既有: