数学物理方程.doc

数学物理方程.doc数学物理方程
函数方程
积分方程
微分方程：常微分方程、偏微分方程
第一章、绪论
典型方程和定解条件的建立
1、弦振动方程
弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。
振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在任意位置处切线的倾斜角很小。
考虑一根拉紧的长为/的弦，以弦的平衡位置所在直线为X轴，并以弦的左端点为坐标 原点，则右端点的坐标为/。求它在平衡位置附近做微小的横向振动的规律。
设时刻弦上坐标为x的点的位置为M,它可由位移函数"(X,/)来表示。
下面利用微元法建立方程： 在任一时刻t,任取…小段弦(x,x+Ax),它弧长为
△s
这个结果说明在整个运动过程中，一小段弦(x,x+Ax)的长度可看作是不变的，因此弦上 各点的张力:T的大小与时间7无关，而其方向是弦的切线方向。
现在研究弧段在时刻t时的受力情况。
它所受的力有弦内部的张力T,其方向沿弦的切线方向。这个力我们称为内力。 假设在弧段运动方向，即ou轴方向上存在外力作用。设在时刻t, x点处的外力密度为
F(x,f),其方向垂直于x轴。则小弦段上所受的外力为：
r
+Ax F(x,t)dx = F(x,/)Ax
概括起来就有：
在ox轴方向上，弧段所受力的总和为
-T cosa + T'cosa' = 0
在ou轴方向上，弧段所受力的总和为
-T sin a + T' sina' + F(x, ?)Ax
其中F(x,?)在时刻t时x点处的外力密度。
力2
弧段MM'在时刻/沿0“轴方向的加速度为「（X,/）,其质量为知，所以由Newton 5r
第二定律知
Q-u
-Tsina + T'sina' + F(x,/)Ax = ― (x,/) p\x dt-
因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有
（1）由cos —亍+才-…略去恥'的高于一次方的各项有cos^cosQl
/ 、 • Su z . . du z 人 、
sin^z = t2a = —(), sin^z = t^a = — (x +Ax,0 dt dt
于是有
du
du
T —(x + Ax, —(兀,t) +F(x,T)Ax = q— (x,f)Ax dt dt dt
dt
dt
两端除以心，再令AxtO有
_ du .、厂 / 、 du z 、
T
ox dt
几T九上"咚廿p dr2
dt2 p dx1
(1)
若弦不受外力作用，即F三0,则（1）变为
(2)
d2u 2 S2u —T = a —t dr dx-
自由项：方程中与未知函数无关的项。
方程（1）为非齐次方程，方程（2）为齐次方程。方程（1）, （2）称为弦振动方程，或 一维波动方程。
同理，我们可以得到二维波动方程和三维波动方程
+ f（x,y,t）（鼓膜的振动）
+ /（x,y,z,0 （三维物体的振动，电磁振动）
d2u 2( d2u d2u^
~se=a ［乔+乔+辽
定解条件
初值条件
设弦在初始时刻点X的位移为0（x）,初始速度为妙（X）,则U应满足的初值条件
M|,=0 = 0（x）
< du
It
边值条件
由物理学得知，弦在振动时，其端点