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数学物理方程
第1页，共34页，编辑于2022年，星期六
数学物理方法B
1、基本方程的推导及基本概念
2、分离变量法
3、行波法与积分变换法
4、贝塞尔函数
5、勒让德多项式
6、格林函数法
第2页，共34页，编辑于202 由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的不同而变化，因此解决热传导问题的实质是求物体内部温度的分布。我们用
表示物体G内一点 在t时刻的温度，来研究在热传导过程中，温度函数 所满足的偏微分方程。
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第1章 典型方程的推导及基本概念
取包含点 的一个小区域 ，讨论这个小区域内的热平衡，然后在设法过渡到点 。设这个小区域的表面为闭曲面 ，体积为V。
设物体G的密度为
比热容为 ，则温度变化为
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第1章 典型方程的推导及基本概念
所需热量为
傅里叶（Fourier）实验定律：
称为物体在点 的导热系数。
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第1章 典型方程的推导及基本概念
通过小区域表面流入小区域的热量为
利用高斯（Gauss）公式化为三重积分，
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第1章 典型方程的推导及基本概念
如果所考虑的物体内部没有热源，由热量守恒可得：
非均匀的各向同性体的热传导方程：
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第1章 典型方程的推导及基本概念
若物体是均匀的， 即 为常数，则
或
这里 称为拉普拉斯算子。此方程称为热传导方程（扩散方程）。
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第1章 典型方程的推导及基本概念
如果在物体内部还有热源，则需要一个物体内部的热源函数来标志其强度。用函数 表示热源的密度（单位时间单位体积中所产生的热量），
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第1章 典型方程的推导及基本概念
（三）拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程
三维拉普拉斯方程或调和方程：
三维泊松（Poisson）方程：
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第1章 典型方程的推导及基本概念
总结：
1、波动型方程（含有关于时间t的二阶偏导数）：物理现象随时间剧烈改变。
2、抛物型方程（含有关于时间t的一阶偏导数）：物理现象随时间缓慢改变。
3、椭圆型方程（不含关于时间t的任何偏导数）：物理现象不随时间而发生改变。
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第1章 典型方程的推导及基本概念
对于弦振动问题来说，一般弦的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦两端所受的外界影响。对于一个特定的热传导过程，仅仅知道温度u所满足的方程是远远不够的，还需要知道物体在初始时刻的温度分布和物体在边界上的温度状况（或热交换情况），才能完全确定物体在以后时刻的温度。由于拉普拉斯方程和泊松方程描述平稳的物理现象，表示该过程的物理量与时间无关，所以只需边界条件，而无初始条件。
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第1章 典型方程的推导及基本概念
（1）表征某过程初始时刻状态的条件称为初始条件。
（2）表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件称为边界条件。
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第1章 典型方程的推导及基本概念
第一类边界条件：在边界上直接给出了未知函数u的数值，即 。
第二类边界条件：在边界上给出了未知函数u沿的外法线方向
的方向导数，即
第三类边界条件：在边界上给出了未知函数u与u沿的外法线方向的方向导数的线性组合的值，即
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第1章 典型方程的推导及基本概念
这里的 都是定义在边界上的已知函数，若 ，则称相应的边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。