2007年中科院研究生院数分试题及解答.doc

袃2007年中国科学院研究生院入学考试数学分析试题及解答肁求幂级数的收敛域,并求和螆解:取收敛半径为,设,取临界状态,则有芈芅从而知收敛域为,取,:取=莃当时,由于,羀从而由收敛准则知,此时发散芇当时,由于,当且仅当,积分收敛,又因为膆,蒂其中在单调减,当时趋于零;,有莀根据收敛准则,是收敛,而,故收敛,从而当且仅当时,积分收敛,又有肈时,有膈,因此,此时条件收敛,当时,,其中为曲面在蝿平面的的右侧部分的外侧。螈解:取为曲面,它的方向就为轴的负方向,为曲面和形成的几何体,则有羅从而羃=蒂==;肇莅袂证明:设,所以,则有在点取得最大值;艿,螈或者直接利用几何与算术平均不等式和,,不等式显然成立;所以只需讨论,根据对称性,羃可设,此时有,衿又由于在处达到最小值,且有,薅又由于函数,,蚄,,因此,蚃所以在上递增,所以,即。,且绝对收敛,证明:级数收敛袈证明:由绝对收敛可知有界,不妨设为,膄由级数收敛可知,当时,蒄和蚈若记肆则有,,对于所有的实数,满足且满足螁。证明存在实数,满足蒇证明:由分析存在有蚆从而有莁,取,薈则有就有在有最大值,蚅从而存在点,有,即,肅若这和矛盾,膁所以。,证明:在上有羈证明:由分析存在点有薄①袁②螁①②,是定义在上的二元函数,,且在蒈处可微。求极限:葿解:莃=由于在处可微,故存在莂使蕿薇=,和在上连续,且存在,使得膃。蚁证明:必满足蚅。蒆证明:设从而有袃;,记,,对于膆且,证明:;莅证明:取,取,从而由题意可以推的莄;利用泰勒级数可知薁薈由螄肄从而薇从而原命题得证以下无正文仅供个人用于学****研究;不得用于商业用途。