2010年中科院研究生院数分试题及解答.doc

2010年中科院研究生院数分试题及解答.doc1 2010 年中科院研究生院数学分析试题及参考答案 1. 计算( 1)?? 2 sin 040 ln 1 lim 1 1 xx t dt x ??? ??; (2)1 x y xy dxdy ? ???.解:(1)?? 2 sin 040 ln 1 lim 1 1 xx t dt x ??? ?????? 2 sin4040 ln 1 lim 1 1 xx t dt xx ??? ?????? 230 ln 1 sin 2sin cos 2lim 4 x x x x x ?? ???? 2320 ln 1 sin sin lim cos sin xxxx x x ??? ??? ?? ? 1?; (2) 1 1 , 0 4 x y x y x y xy dxdy xydxdy ? ? ?????? ?? 1 1 0 0 4 x xdx ydy ??? ????? 2 1 1 2 0 0 1 4 2 1 2 x x dx x x dx ?? ??? ? 16 ?. 2.(1 )令?? 21 sin , 0 0 0 x x f x xx ????????, ,求?? 0f ?,并证明?? f x ?在0x?处不连续; (2 )若 11 nkk ????,证明 1 e n ?? ?. 证明:(1)?????? 0 0 01 0 lim lim sin 0 0 x x f x f f x x x ? ???? ???, 但当0x?时,?? 1 1 2 sin cos f x x x x ?? ?, 2 而102 nxn?? ?,?? 1 0 f x ????,?? n ??, 由此,?? f x ?在0x?处不连续.(2 )方法一数学归纳法, 显然 1 1 1 e ? ??, 现假设 i n ?时,不等式成立, 则当1 i n ? ?时, 1 1 1 1 1 11 n n k k k k n e e e ?? ??? ???? 111 n n e ?? ??? 1111 1 1 1 nnnn ??? ?? ?? ? ??