中科院研究生院数分试题及解答.docx

中科院研究生院数分试题及解答.docx2007年屮国科学院研究生院入学考试数学分析试题及解答8 >724-11求慕级数若帛"的收敛域,并求和(z?24-1)2/,+1(714-1)!「0+1)2+1]25!=+oo解:取收敛半径为R,设afl=^-^R\取临界状态,则有lim如=l=>R=lim/:—>00Z7 舁一>00UH从而知收敛域为(yo,+go),取)',=空,可知00丈字卜==丈2/+乞畔严=0+送斗V"+y,;=o2n\“=o刃”=()川 “=on\ ”=()n\h=ort!-ey\W0…y/=0、+》(*')=R(i+y+y2)=( 4,XX1+—+—(2 4r+。” : 心的绝对收敛和条件收敛•V解:取广匚吐如竺如Jo" Jo产兰空心厶+厶当兀0时,由于广垮严52讼纣J2H7T 兀" J:2nn^—2sin2xdx=1>0,2n/r从而由Cauchy收敛准则知,此时j当p>0时,由于外sm2兀2沽(兀tO+O),当且仅当/?<2,积分人收敛,又因为X12=「理二d(严)=-2esin,sin1-2[收esinxcos%必「畀+00e&inxsinx英中=7在[l,+oo)单调减,当兀TXo时趋于零;V/1>1,有X•AI严'cosMy<2e根据Dirichlet收敛准则,是厂^2竽弘收敛,而』Xsinx4<01兀卄+oo(^s,nAsinx心收敛,从而当且仅当0vp<2时,积分[+252%收敛,又有xppe(0,1]时,有■woesinvI “—limYC71 =xP£"T+8七Umin2AU>iiimt^A-少TW铝(£+1)〃(知i)兀•sin2x|dx1~k+\=+oo因此,此吋gMnAS'n2xdx条件收敛,当〃w(l,2)吋,显然积分'罗2兀dx绝对收敛✓+(x2+z2^ydzdx+xydxdy,其中工为曲面4一y-x'+z?在zXOZ平面的的右侧部分的外侧°解:取乙为曲面v0?,它的方向就为y轴的负方向,D为曲面工和乙形成的儿何jr+z=4从而体,则有yzdydz+(x2+^ydzdx+xydxdy=0JJyzdydz+(x2+z2)ydzdx+xydxdyx1+z2)ydzdx+xydxdy=jjyzdydz+(x2+z2)ydzdx+xydxdy+Jjyzdydz+(FE £二JW+Z2购WZ二仙JJX+Z?D A*2+z2<4-y4•证明下列不等式;XW(1-X)<—(0<X<1,77为正整数)xv+/>l(x,y>0)ydxdz=j:dy^d&J(「r2rdr=—7r证明:(1)设/(x)=xH(l-x),所以/'(%)=nxn~x一(比+1)兀"=(h+1)xh_i(———x),ATI1i-i则有/(兀)在点x=—取得最大值;xn{\-x)<f5+1丿I1-斗n+1丿xn+11+-n)1-丄斤+1丿<1ne/ ]丫十|或者直接利用几何与算术平均不等式和1+丄 〉£,得InJrn=nn(-)(l-x)</znn111 i V (1丫十nne1+-kn)(2)因为x'l或ynl时,不等式显然成立;所以只需讨论0v七yvl,根据对称性,可设y=饥(0<t<1),此时有X-V+才=Xtx+(/X)V=(丫)'+tXXX,_丄又由于疋在X=|处达到最小值A=ee,且有疋+才nA+tA(tx>/)