2019年中科院研究生院数学分析试题及解答.doc

2006年中国科学院研究生院数学剖析考研试题一.(20分)设在内可导,且,其中为有限数或或。证明:存在,使得。二.(20分)计算积分1.;2.;.(20分)设函数在上二阶可导,且,。证明,使得。四.(20分):任一实数列必为两个单调递增数列之差。,求五.(15分)设函数在上连续,且,使得。证明:在上至少有一个零点。六.(20分)求幂级数收敛域,并求其与函数。七.(20分)计算二重积分,其中为区域。八.(15分)设存在二阶连续偏导数,表示梯度,表示Hesse矩阵,,即:。如果在处为正定,证明是一个局部极小值点。,证明至多有一个稳定点。2006年中国科学院研究生院数学剖析考研试题解答证明证法一用反证法,假若结论不真,由导函数介值性,对所有,,都有,则在上严格单调递增,对,有,令,取极限,则得这与条件矛盾,同理对所有,都有时,亦是矛盾,所以假设不成立,(1)当为有限数时,若,则,结论自然成立,若不很等于,则存在,使得,下设,(对,类似可证)因为,函数在内连续,所以对任意取定数,存在,,使得,从而由Rolle定理知,存在,使得。若或,则任取一点作,上面推理保持有效.(2)当时,,易知在内可取到最小值,设在处取到最小值,则有;(3)当时,,易知在内可取到最大值,设在处取到最大值,则有;注:此题是推广罗尔中值定理。二、1、解解法1解法2令,,,,、解由,知3、三、证明因为在上连续,有最小值,又因为,,故最小值在内部达到,所以存在,,由Fermat定理,有,在处,按Taylor公式展开,存在,使得因此于是存在,、1、证明设为任一实数列,令,,所以,令,,显然数列,都是单调递增于是由于,都是单调递增,、解设,利用Stolz定理,得五、证明方法一由条件可知,任取,存在,满足,存在,满足,这样继续下取,得到存在,满足;进而;存在子列及,使得收敛于;在利用在处连续及,即得,,,设,利用条件可知,对任意,存在,满足,从而由,;进而有,;存在,使得;,当时,,当时,收敛;当时,发散,、解记,八、1、