2015年中科院研究生院数学分析试题及解答.doc.doc

2006年中国科学院研究生院数学分析考研试题一.(20分)设)(xf在),(??a内可导,且????????)(lim)(limxfxfxax,其中?为有限数或??或??。证明:存在),(???a?,使得0)('??f。二.(20分)???1021)1ln(;??????;])([222??????????????三.(20分)设函数)(xf在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(??ff,1)}({min10????xfx。证明)1,0(???,使得8)(''??f。四.(20分):任一实数列必为两个单调递增数列之差。???lim,求21limnianiin????五.(15分)设函数)(xf在],[ba上连续,且????????????21,0],,[],,[zbaybax,使得)(|)(|xfzyf?。证明:)(xf在],[ba上至少有一个零点。六.(20分)求幂级数????0)53(nnxn的收敛域,并求其和函数。七.(20分)计算二重积分dxdyxyD???2,其中D为区域20,1???yx。八.(15分)设nRxxf?),(存在二阶连续偏导数,)(xf?表示)(xf的梯度,??nnijhxf???)(2表示)(xf的Hesse矩阵,其中),,2,1,(2njixxfhjiij??????。?是)(xf的稳定点,即:0)(??af。如果)(2xf?在ax?处为正定的,证明a是)(xf的一个局部极小值点。)(xf的Hesse矩阵在所有nRx?点处正定,证明)(xf至多有一个稳定点。2006年中国科学院研究生院数学分析考研试题的解答一、证明证法一用反证法,假若结论不真,由导函数的介值性,对所有??,x a? ??,必有??0f x??或者??0f x??.若对一切??,x a? ??,都有??0f x??,则??f x在??,a??上严格单调递增,对1 2a x x x y? ???,有????????1 2f x f x f x f y? ??,令,x a y?? ???,取极限,则得????????1 2lim limyx af x f x f x f y?????? ??,这与条件矛盾,同理对所有??,x a? ??,都有??0f x??时,亦是矛盾的,所以假设不成立,(1)当?为有限数时,若??f x??,则??0f x??,结论自然成立,若??f x不很等于?,则存在??0,x a? ??,使得??0f x??,下设??0f x??,(对??0f x??,类似可证)因为????lim limxx af x f x??????? ?,函数??f x在??,a??内连续,所以对任意取定的数?,????0f x? ?? ?存在??1 0,x a x?,??2 0,x x? ??,使得????1 2f x f x?? ?,从而