一道立体几何题的多种解法和变形应用.docx

一道立体几何题的多种解法和变形应用.docx:..一道立体几何题的多种解法和变形应用例题:在正方体ABCD-A]B]C|D]中,各棱长为2,E为AAi的中点,F为AB的中点。求:平面DiBiE和平面BiCF的夹角。解法一:分析:做DA,CF,DiE的延长线,我们发现三线交于一点M,同时,我们还发现延长后的图形从正方体变化为两个正方体组合的长方体,连接BiM,则B|M就是两个面的公共线,三角形的各边都会求岀。两个面的夹角,我们只要找出公共线上一点,分别在两个面上做垂直于公共线的线,就找出二面角,可求岀二面角的大小。解:做DA,CF的延长线,DA,CF相交于N点,根据已知条件DA=AN,再做DiE的延长线与DN相交M点,根据已知条件DA=AM,所以M与N是一点,三线交于N点。已矢口,DN=4,DD1=2,贝ljD]N=2循,BN=2V2,贝ljB]N=2QDjB]=2V2,在三角形DiBiN中,DiN2=BiN2+DiB]2所以三角形DiBiN是直角三角形,所以,DB1丄B]N。同理或根据对称原理都可求出CB1丄BN所以,如DiBiC就是所求的二面角。,三角形D,B,C是等边三角形,所以角D1B1C=60°所以两而的夹角为60°o解法二:分析:要求两个面的夹角,方法是找出公共线,找出夹如,找出相应的三如形,进行求解,如果两个面在所给的图形中不好找公共线,可以找与面平行的平面,不改变夹角的大小。此题可以转化为在正方体内找与两个而平行的平而,该题变化为如下图:解:G,H分别是BBPDD|的中点,连接AG,AH,GH,O是GH中点,则O点为正方体的中心点,则GO丄AO(因为GO〃对角线BD,BD丄平面AA1C1C,所以GO丄AO)K,M是AiBi,DC的中点,连接AK,AM,MK,。三角形AGH与三角形DiB[E对应的三边平行,所以平面AGH〃平面D]B|E。同理求出平面AKM〃平面BiCFo所以ZKOG也是平面D]B]E和平而BiCF的二而角。连接KG,在三角形KGO中,三边都等于对角线的一半,三边相等,所以ZKOG=60°o所以平面DiBiE和平面