2006年中科院研究生院数学分析试题及解答.doc.doc

2006 年中国科学院研究生院数学分析考研试题一.( 20分)设)(xf 在),( ?? a 内可导,且????????)( lim )( lim xfxf xax,其中?为有限数或??或??。证明:存在),( ???a?,使得 0)('??f 。二.(20分)计算积分 1. dxx x??? 10 21 )1 ln( ;2. dx e x2 2??????;3. dxdy e yxyx])([ 222??????????????三.( 20分)设函数)(xf 在]1,0[ 上二阶可导,且 0)1()0(??ff , 1 )}({ min 10????xf x。证明)1,0(???,使得 8)(''??f 。四.(20分) :任一实数列必为两个单调递增数列之差。 nn??? lim ,求 2 1 lim n ia ni in????五.(15分)设函数)(xf 在],[ba 上连续,且????????????2 1,0 ],,[ ],,[zbaybax , 使得)(|)(|xfzyf?。证明: )(xf 在],[ba 上至少有一个零点。六.(20分)求幂级数???? 0)53( n nxn 的收敛域,并求其和函数。七.(20分)计算二重积分 dxdy xy D ??? 2,其中 D 为区域 20,1???yx 。八.( 15分)设 nRxxf?),( 存在二阶连续偏导数, )(xf?表示)(xf 的梯度, ?? nn ijhxf ???)( 2表示)(xf 的 Hesse 矩阵,其中),,2,1,( 2njixx fh ji ij??????。 nRa?是)(xf 的稳定点,即:0)(??af 。如果)( 2xf?在ax?处为正定的,证明 a 是)(xf 的一个局部极小值点。 )(xf 的 Hesse 矩阵在所有 nRx?点处正定, 证明)(xf 至多有一个稳定点。 2006 年中国科学院研究生院数学分析考研试题的解答一、证明证法一用反证法,假若结论不真, 由导函数的介值性,对所有??, x a ? ??, 必有?? 0 f x ??或者?? 0 f x ??. 若对一切??, x a ? ??,都有?? 0 f x ??, 则?? f x 在??,a ??上严格单调递增, 对 1 2 a x x x y ? ???,有???????? 1 2 f x f x f x f y ? ??, 令, x a y ?? ???,取极限,则得???????? 1 2 lim lim y x a f x f x f x f y ?????? ??, 这与条件矛盾,同理对所有??, x a ? ??,都有?? 0 f x ??时,亦是矛盾的, 所以假设不成立,故原结论成立. 证法二(1 )当?为有限数时,若?? f x ??,则?? 0 f x ??,结论自然成立, 若?? f x 不很等于?,则存在?? 0, x a ? ??,使得?? 0 f x ??, 下设?? 0 f x ??, (对?? 0 f x ??,类似可证) 因为???? lim