解析几何解答题(文).docx

解析几何解答题(文).docx，椭圆C的中心为原点，焦点弓,灼在X轴上，离心率为!.过§的直线/ 交椭圆C于A, B两点，且^ABF2的周长为8 .过定点匝(0,3)的直线"与椭圆。交于G,H两点(点G 在点之间).
求椭圆C的方程；
设直线匕的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、为邻边的平行四边 ，求出初的取值范围；如果不存在，请说明理由.
y2 v2 厂 [
解：(I)设椭圆的方程为—+ J = l(Q〉b〉0),离心率。=2=上，
a b a 2
AABF2 的周长为 l + IAE I +IA§ l + IA尸21= 4q = 8,
2 2
解得a = 2,c = l,则b2=a2-c2 =3,所以椭圆的方程为土+匕=1.
4 3
f 2 2
二+匕=1
(II)直线4的方程为)=奴+ 3侬〉0),由｛ 4 3 一，得(3 + 4『)./+24奴+ 24 = 0 (*)
y =奴 + 3
△ = (24k)2—4x24x(3 + 4『)〉0,解得上〉季，
设椭圆的弦GH的中点为M%%)，则“在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、PH为
邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在x轴上是否存在点P(m,0)，使得PN .
24 k
设6(尤1，为)，H(x2,y2),由韦达定理得，邑+可二 ，
. 3 +4k
邑+、2 12k 9 12k 9 、
所以尤0 = = 7， ,0 =航0 + 3 = = 7 N( 7, ),
° 2 3 + 4亍 70 0 3 + 4『 3 + * 3 + 4妃
知 12* +秫(3 + 4声) 12上+秫(3 + 4妒)
3k V6. 3(2k-g)(2k +的)3(V6-V3)(2Z： + V3) n
m = (k > ——).〃i'(k)= 壬 > — > 0 ,所以，函数
3 + 4k2 2 (3 + 4/)2 (3 + 4k2)2
m =—— 侬〉巫)在定义域(必,+oo)单调递增，m(—) = ,所以满P(m,0)存在，m
3 +4k 2 2 2 6
的取值范围为(-垂,+8)
6
，已知椭圆土 +匕=1的左焦点为F ,过点户的直线交椭圆于A,3两点，线段AB的中点为 4 3
G, AB的中垂线与x轴和y轴分别交于两点.
若点G的横坐标为一上，求直线AB的斜率； O \ ,
4
记△&『£)的面积为S[, DOED (0为原点)的面
积为S2 .试问：是否存在直线AB,使得S}=S2 ?说明理由.
(I )解：依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y = *(x + l).
2 2
将其代入y + y = 1,整理得(4摩+3*2+8摩X +4摩—12=0.
-8k-
设A(Xj, y；), B(x2, y2),所以Xj+x2 =—f—.故点G的横坐标为也二呵
4k +3 2
-4尸
4尸+3
-4k2
依题意，得 厂=-上,解得k=+-.
4尸+3 4 2
(II)
解：假设存在直线AB,使得S, = S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直.
可得G(W
——),因为DG1AB,所以 4k~+3
一4亍
3k
1,
4好+3一知
解得
-k-
*£) = ?
4尸+3
_k2
D(——,0).
4k2+3
因为
所以 § =禹 <^>\GD\=\OD\.
所以
-k- -4k2
)2( 3k)2 4*2+3 4*2+3)+(4尸+3)
-k-
4*2+3
整理得8/ +9 = 0 .因为此方程无解,
所以不存在直线AB,使得 禹=禹.
:「+ % = l(a〉b〉O)的左、右焦点分别为F. F,, a b
Z:x-V3y-3 = 0的距离等于长半轴长.
(I )求椭圆C的方程；
(II)过右焦点尸2作斜率为上的直线/与椭圆。交于肠、N两点，
离心率为!，左焦点F］到直线
线段奶的中垂线与工轴相交于
点P(m,O),求实数m的取值范围.
解：(I )由已知- = 可得^(--0,0), a 2 2
I--A-3I
由§到直线的距离为a ,所以 —*，解得Q = 2,「.c
l,b = a/3
2 2
所求椭圆方程为己一+土 = 1.
4 3
(II)由(I)知灼(1,0),设直线/的方程为：y = k(x-V)
y = k(x -1)
『 ,2 消去 y 得(3 + *).『-8* + * —12 =
.T + T~
因为/过点％ ,所以A>0恒成立
设肱(玉双),Ng*)
. 8k" —6k
贝ij %, + x? =