函数求导法则.pptx

第二节函数求导法则
直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和 则，就能比较方便地求出初等函数的导数.
一、 函数和、差、积、商的求导法则
二、 反函数求导法则
三、 复合函数的求导法则
数.
解： 贝！J x = siny9
CQJ®>C，则
用心'=何啓cos* gs，
类似可求得 ―/ 1
J 1~zxr
• •❺
—rc心e的导数。
解： ^=arc1x为函数的反函数。
类似可求得
的导数。
■-(1<^^F=-——=—-—= -
07 a^lna 职
特别当o = e时，(Lo^=^
JC
小结:
三、复合函数的求导法则
定理3设函数u-g(x)在点工处可导，函数 y =/(w)在点u-g(x)处可导，则复合函数y =/(^(x)) 在点工处可导，且其导数为
半=f，(").g，⑴或，=.
ax ax du ax
♦ • •
证 设x取增量Ax,则"取得相应的增量△奶
CG
1 = 1
从而y取得相应的增量匀，即
眼
Aw = g(x + Ax) — g(x)9
Ay=f(u + Au)-f(U).当侦莉时,有芸=芸崇
因为"=g(x)可导，则必连续，所以Ax TO时，
△〃tO,因此
1血生=lim-^-lim—,
Ax △"to Au *t° Ax
即冬■ = _/'(侃)脇‘⑴. ax
当侦=0时，可以证明上述公式仍然成立.
公式表明，复合函数的导数等于复合函数对 中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设y = /(w), u = g (v), v = h(x)都是可导函数，则复 合函数y 对x的导数为
头閃)昨"⑴或牛=半•孚半 dx ax du av ax
例 10 y = Insinx,求矿
解 设 y = ln", u = sinx,贝!J
V = (In u)f • (sin x)' = — • cos x = = cot x.
u cosx
2尤
例11 y = cos——，求矿.
1 + x
解设〃=一，而半= -sin〃，
1 + x du
du _ 2(1 + x2)-2x-2x _ 2(1-x2) ~dx~ (1 + x2)2 - (1 + x2)2 9
dy . 2(1-x2) 2(1-x2) . 2x
一 = -smu--=---sin---.
dx (1 + x ) (l + x ) 1 + /...
熟练之后,计算时可以不写出中间变量，而直 接写出结果.
例12 y = Vl —2己求K
1 1 2 _4r
解 / = [(l-2x2)3y = -(l-2x2) 3 ^l-2x2)f=-^===
3 3*(1-2必尸
sin丄
例13 y = e x,求乂
s sin- sinl . 1 sin 丄 1 1
解 y' = (e xy -e x - (sin—)r = ecos— •(—)'
x x x
1 sin- 1
例 14 y = lncos(e x),求 V. 解"日5%(顼)『
(5Cmn(/).
例 15 y = Jsirj3(5x) + 1,求 y'.
1 1 _1
解 = ([sin3(5x) +1]2 }r = -[sin3(5x) +1] 2[sin(5x) + l]r 2
=一/ ] = • 3 sin2 (5x) • [sin(5x)]'
27sin3 (5x) + 1
=一/ ] = • 3 sin2 (5x) • cos(5x) • (5x)'
Z^sin3 (5x) + 1
15 sin (5x)-cos(5x)
2面3(5尤)+ 1
例16设x>0,证明冨函数的导数公式
(")' =3^1.
证心*^=矿
=x〃 •-
X
• •❺
例17 i
解:
-1
——cscx
3
求#
例］8
设其中函数f（〃）可导，求矿.
解：设sb珞
• •❺
四、初等函数的导数

⑴(O' = 0；
(2)
(3) (sinx)' = cosx;
(4) (cost)，= sinx;
(5) (tanx)' = sec2x;
(6) (cotx)' = - csc2x;
(7)