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函数求导法则
例5 y = tanx, 求 y.
即 (tanx) = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式.
类似地可求余切函数的求导公式 (cotx) =  csc 2x.
例6 y = 函数求导法则
例5 y = tanx, 求 y.
即 (tanx) = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式.
类似地可求余切函数的求导公式 (cotx) =  csc 2x.
例6 y = secx, 求 y.
即 (secx) = secxtanx. 这就是正割函数的求导公式.
类似地可求余割函数的求导公式 (cscx) = cscxcotx.
二、反函数的求导公式
定理2 设函数 在区间 I y 上单调、可导, 且 , 则它的反函数 y = f (x) 在对应区间 I x 上也单调、可导, 且
简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.
任取 x  I x , 给 x 以增量, 由 y = f (x) 的
因为 y = f (x)连续, 故
，从而
单调性可知 y = f (x + x) - f (x)  0, 于是
证
又
例7. 求函数
解:
则
类似可求得
, 则
的导数.
为函数
类似可求得
解：
的反函数。
例8. 求函数
的导数。
解：
则
特别当
时,
例9. 求函数
的导数。
小结:
三、复合函数的求导法则
定理3 设函数 u = g (x) 在点 x 处可导, 函数
y = f (u) 在点 u = g (x) 处可导, 则复合函数 y = f (g(x))在点 x 处可导, 且其导数为
设 x 取增量 x, 则 u 取得相应的增量 u,
因为 u = g (x) 可导, 则必连续, 所以 x  0 时,
当 u = 0时, 可以证明上述公式仍然成立.
从而 y 取得相应的增量 y , 即 u = g(x + x)  g(x),
y = f (u + u)  f (u).
u  0, 因此
当 u  0时, 有
证
中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设 y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可导函数, 则复合函数 y = f (g(h(x))) 对 x 的导数为
公式表明,
复合函数的导数等于复合函数对
例10 y = lnsinx, 求 y.
解 设 y = lnu, u = sinx, 则
例11
解 设
熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接写出结果.
例12
例13
例14 y = lncos(e x), 求 y.
例15
例16 设 x > 0, 证明幂函数的导数公式
(x ) =x -1.
证
解：
例17 设
解： 设
例18 设
其中函数
可导，求
四、初等函数的导数
1. 基本导数公式
(1) (C) = 0;
(2) (x ) = x  -1;
(3) (sinx) = cosx;
(4) (cosx) = sinx;
(5) (tanx) = sec2x;
(6) (cotx) = - csc2x;
(7) (secx) = secx tanx;
(8) (cscx) = - cscxcotx;
(9) (e x) = e x;
(10) (a x) = a x lna;
2. 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u(x), v = v(x) 均可导, 则
(1) (u  v) = u  v;
(2) (uv) = uv + uv;
(3) (Cu) = Cu;
3. 复合函数的求导法则
设 y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可导, 则复合函数 y = f (g(x))的导数为
例19 求函数
解
的导数.
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