BS期权定价公式.pdf

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Black-Scholes期权定价模型
一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下:
(Black-Scholes期权定价模型中为股票),当前时刻市场价格为S。
dS
S遵循几何布朗运动,即dtdz。
S
其中,dz为均值为零,方差为dt的无穷小的随机变化值(dzdt,称为
标准布朗运动,代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1的正态分布)
中取的一个随机值),为股票价格在单位时间内的期望收益率,则是股票价
格的波动率,即证券收益率在单位时间内的标准差。和都是已知的。
简单地分析几何布朗运动,意味着股票价格在短时期内的变动(即收益)来
源于两个方面:一是单位时间内已知的一个收益率变化,被称为漂移项,可以
被看成一个总体的变化趋势;二是随机波动项,即dz,可以看作随机波动使得
股票价格变动偏离总体趋势的部分。
,不考虑保证金问题,即不存在影响收益的任何外
部因素。
,不存在突然的跳跃。
,即允许卖空,且所有证券都是完全可分的。
,无风险利率r保持不变,投资者可以此利率无限制地进
行借贷。
,股票不支付股利。
。
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二、Black-Scholes期权定价模型
(一)B-S期权定价公式
在上述假设条件的基础上,Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧
式看涨期权的Black-Schole微分方程:
ff12f
rS2S2rf
tS2S2
其中f为期权价格,其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程,Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨
期权的定价公式:cSN(d)Xer(Tt)N(d)
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其中,
ln(S/X)(r2/2)(Tt)
d
1Tt
ln(S/X)(r2/2)(Tt)
ddTt
2Tt1
c为无收益资产欧式看涨期权价格;N(x)为标准正态分布变量的累计概率
分布函数(即这个变量小于x的概率),根据标准正态分布函数特性,我们有
N(x)1N(x)。
(二)Black-Scholes期权定价公式的理解
(d)可看作证券或无价值看涨期权的多头;Ker(Tt)N(d)可看作K份
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现金或无价值看涨期权的多头。
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可以证明,f/SN(d)。为构造一份欧式看涨期权,需持有N(d)份证券
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多头,以及卖空数量为KerTN(d)的现金。
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Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
注意:该公式只在一定的假设条件下成立,如市场完美(无税、无交易成
本、资产无限可分、允许卖空)、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动
等。

风险中性定价原理:我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无
关的。C(S,t)与S、r、t、T、σ以及K有关,而与股票的期望收益率μ无关。这
说明欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call定价时,可假设投资者是风险中性的(对所承担的风险不要求
额外回报,所有证券的期望收益率等于无风险利率)。
为了更好地理解风险中性定价原理,我们可以一举个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元,我们知道在3个月后,该股
票价格要么是11元,要么是9元。
元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行,其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月
后该股票价格等于11元,;若3个月后该股票价格等于9
元,则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值,我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的
标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时,该组合价值等
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于(11-)元;若3个月后该股票价格等于9元时,该组合价值等于9元。
为了使该组合价值处于无风险状态,我们应选择适当的值,使3个月后该组合
的价值不变,这意味着:11-=9,我们解得:=
因此,。无论3
个月后股票价格等于11元还是9元,。
在没有套利机会情况下,无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风
险年利率等于10%,则该组合的现值应为:
,而目前股票市场
为10元,因此:
10f
f
这就是说,,否则就会存在无风险套利机会。
三、Black-Scholes期权定价公式的计算
Black-Scholes期权定价公式的计算:一个例子
为了使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型,我们下面用一个简单的
例子,来说明这一模型的计算过程。
假设某种不支付红利股票的市价为50元,无风险利率为12%,该股票的年
波动率为10%,求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期
权价格。
在本题中,可以将相关参数表达如下:S=50,X=50,r=,σ=,T=1,
算出d和d:
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ln(50/50)()1
d
1
dd1
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计算Nd和Nd:
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NdN
1
NdN
2
将上述结果及已知条件代入公式,这样,欧式看涨期权价格为:
c50501
由PCKe-r(T-t)SKer(Tt)N(d)SN(d)可以算出欧式看跌期权价
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格:p501e1501
四、影响欧式看涨期权价格的因素
从B-S公式我们可以简单得出以下的结论:
(1)当期股价S越高,期权价格越高;
(2)到期执行价格K越高,期权价格越低;
(3)距离到期日时间T-t越长,期权价格越高;
(4)股价波动率σ越大,期权价格越高;
(5)无风险利率r越高,期权价格越高。
五、Black-Scholes期权定价公式的应用
Black-Scholes期权定价公式除了可以用来估计期权价格,在其它一些方面也
有重要的应用。主要有以下三方面:
(一)对公司负债及资本进行估值:
一家公司A发行两种证券:普通股100万股及1年后到期的总面值8000万
元的零息债券。已知公司总市值为1亿元,问:公司股票及债券如何定价?
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令V为当前A公司资产市场价值,E为A公司资本市场价值,D为A公司
债券市场价值。
V=E+D
考虑股东1年之后的收益:当A公司价值VT大于债券面值时,收益为VT
-8000;当A公司价值小于债券面值时,收益为0。股东相当于持有一个执行价格
为8000万元的欧式Call,标的资产为公司价值当前资本价值为:
EVN(d)BerTN(d)
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给出其它具体数值,,无风险利率为8%,根据B-S
公司得到E=2824万元,公司负债价值D=V-E=7176万元。
(二)确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。1年之后,若公司价值VT
大于债券面值时,银行无须支付;若公司价值VT小于债券面值时,银行须支付VT
–B。这相当于银行出售了一个欧式put,标的资产仍为公司价值,执行价格为
债券面值B。
利用上面的例子,可采用B-S看跌期权定价公式或看涨看跌期权平价公式,
得到欧式put的价值为209万元,A公司应支付209万元的担保费。
(三)带有可转化特征的融资工具的定价
认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权
利。
假设公司有N股流通股,M份流通欧式认股权证,一份认股权证使持有人
在时刻T以每股K的价格购买x股新股的权利。
设时期T公司权益价值为ET,若持有人选择执行认股权,公司权益价值
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变为ET+MxK,股票数量变为N+Mx。执行认股权证后瞬间,股价变为(ET
+MxK)/(N+Mx)。只有当这一股价大于执行价格K时,持有人才会执行认股权。
xNE
(1)当ET/N>K时,持有人执行,其收益为:TK
NMxN
(2)当ET/N>K时,持有人不执行,其收益为0。一份认股权证的价值为:
xN
C
NMx
其中C是基于公司股票价格的欧式Call,执行价格为K。利用B-S公式得一
份认股权证的价值。
六、B-S期权定价公式的不足
B-S公式当然也有其不足之处,首先Black-Scholes期权定价公式估计的期权
价格与市场价格存在差异,主要的原因有以下几点:
1)Black-Scholes期权定价公式是建立在众多假定的基础上的,而我们现实
的市场是不满足它的很多假设条件的,因此,利用B-S公式计算出来的
期权价格与真实的市场价格之间肯定会存在差异的;
2)参数的错误:B-S公式中的参数实际上是需要我们自己估算的,我们只
能根据历史数据来估算参数,这之间就存在一个误差;
3)期权市场价格偏离均衡,此时的期权价格的估算显然没有其实际意义。
其次,对于无收益资产的期权而言,B-S模型适合欧式看跌期权和看涨期权。
同时可以适用于美式看涨期权,因为在无收益情况下,美式看涨期权提前执行是
不可取的,它的期权执行日也就是到期日,所以B-S公式也适用美式看涨期权;
对于美式看跌,由于可以提前执行,故不适合;
对于有收益资产的期权而言,只需改变收益现值(即变为标的证券减去收益
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折现),B-S公式也适用于欧式看跌期权和看涨期权;在标的存在收益时,美式
看涨和看跌期权存在执行的可能性,因此B-S公式不适用。
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